In Plain Words: Annualised Rate

2015年1月13日

據我2001至2008年在通訊社工作的經驗，芸芸經濟數據中，對金融市場影響最大的一個，無疑是美國每月第一個週五公佈的上月份非農就業人口。美國每季的國內生產毛額（GDP）當然也受重視，但對市場的影響，比不上每月的非農就業人口。

對經濟指標有研究的人，應該都知道美國季度GDP的headline number（最受矚目的一個數字）的涵義，不熟的人可能便沒有什麼概念。各國公佈季度GDP，一般會報與上季比較和與去年同期比較的成長率，但美國GDP的headline number卻兩者都不是。

以下說明摘自當年我在通訊社工作時寫的「In Plain Words: Annualised Rate」，適合對此問題有興趣的讀者細閱。

到底是年率還是季率？

2005年9月8日當天的「路透早報」為什麼會發更正？就是沒把「季率」還是「年率」說清楚。

原稿：…美國第二季非農生產力下修為較上季增長1.8%…

更正版：…美國第二季非農生產力向下修正，與上季相較經季節調整年增率為1.8%…

原稿的表述方式，很容易使讀者以為只是Q/Q，即較上季變動百分比。而原譯者認為基本上這樣的理解也沒有錯，因為美國勞工統計局的新聞稿中，對季度生產力的說明是：percent change from preceding quarter，又稱quarterly percent changes at seasonally adjusted annual rates，所以這個變動率無疑是與上季相比較得出的結果，年率化只是一種調整，重點還是在於與上季相比較，所以為求行文簡潔時，可只寫較上季增長1.8%，而寫成年增率則是錯誤的。

但這樣只簡單寫「較上季增長…%」，其實是不夠精確的，因為無法表達seasonally adjusted annual rates的「年度變動率」意思。

釐清定義

要真正解決問題，就必須回到問題的根源：到底這種與上一季度相比較，然後annualised，稱之為annual rate或annualised rate的變動率，是如何界定的？代表什麼？

路透金融詞典收有以下詞條：

Annual Rate/ Annualized Rate 年率

1. 按月或按季公佈的經濟數據分別乘以12或4即為年率數據，如美國2004年9月房屋開工年率初值為189.8萬戶，新屋銷售年率為120.6萬戶。年率數並非代表實際發生的活動，僅是表示若本月或本季的活動水平保持下去，該項經濟活動一整年的水平將是如何。

2. 將月／季度數據與上月／季比較，經統計上的調整，計算出以年率計的增長率，和直接與上年同期相比較（year-on-year）得出的增長率不同。美國及日本的季度國內生產總值（GDP）所公佈的增長率均屬此類.

3. 將某項經濟指標，如通貨膨脹率，一年的平均水平與上年的平均水平相較，所得出的年變動率.

*第三定義根據英文詞典照譯過來，感覺上有點不知所云。

本文所討論的就是第二定義下的年率。這種特殊的變動率，既是與上季相比較，又年率化（annualised），其實就是將我們所稱的季率（季度變動率，quarter-on-quarter change），換算成一個年度變動率。這個特殊的年率代表的是：假設季度數值較上季的變動率持續不變，年度數值會變多少。換句話說，若本季較上季增長q%，本季的環比年率就是指若每一季均較上季增長q%，年度數值會增長多少。

這個「換算」的動作，只是將季率輸入一簡單的數學公式中，不需要做任何統計上的調整。所以，原路透詞典上用「經統計上的調整」這種說法不甚妥當，若有機會修改路透詞典，我會另起一個詞條，然後這麼解釋：

Annualised rate of quarter-on-quarter change 環比年率

環比年率是一種特殊的年度變動率，由季度數值較上季的變動率推算得出，代表在該變動率持續不變下，數值一年會變多少。環比年率和直接與上年同期相比較得出的變動率，即同比年率（year-on-year rate of change）不同。美國、日本及新加坡公佈季度國內生產總值（GDP）以及美國公佈季度生產力及單位勞工成本時，最受矚目的數字（headline number）就是環比年率。

環比年率是一種假設性的年度變動率，並非代表實際發生的數值變動。以美國2005年第一季GDP為例，當季GDP經季節調整、剔除物價變動的影響後較上季（2004年第四季）成長0.938%，較上年同期增長3.6%，最受矚目的環比年率則為成長3.8%──這是指若每一季的GDP均較上季成長0.938%，美國的年度GDP將增長3.8%，是一個假設性的年增率。

以上借用了中國大陸的譯法「環比年率」來稱呼這種變動率，是因為翻譯名詞一大關鍵是簡潔好用，而環比年率是本人迄今所見最準確簡潔的，同時包含了這種增長率的兩個概念——環比（Q/Q）與年率（annual rate or annualized rate）。中國報導數據時，習慣用環比及同比來分別簡稱與上一月份／季度相比、與上年同期相比，香港則用按月／按季、按年，路透中文新聞報導國際數據時，則盡可能用最淺白的較上月／較上季、較上年同期。敘述美國季度GDP這種特殊的增長率時，環比年率是最佳說法，可惜環比這種說法在香港及台灣均不普及，因此很多台港同胞看到環比年率可能會一時摸不著頭腦，需要加註說明才行：

環比年率係以季度變動率推算，代表在該季度變動率持續不變下的年度變動率.

從定義推想出計算方式

釐清環比年率的定義後，接下來要推想出計算方式就比較簡單了。我是這麼想的：

若第一季（Q1）數值是100，季度增長率（q）保持不變為1.0%，

Q2的數值就是100（1+1.0%），

Q3則是Q2（1+1.0%），也就是100（1+1.0%）²，

如此類推，Q8（翌年第四季）的數值是Q7（1+1.0%）=100（1+1.0%）⁷

由此我們可以算出Q1到Q8共八個季度的數值，第一年總值為Q1至Q4的加總，第二年則是Q5至Q8的加總。將第二年總值除以第一年總值，減去1，就可得出環比年率=4.1%了，其代表的意思是：若一個數值每季均較上季增長1.0%，該數值一年會增長4.1%。

值得注意的是，此處用來計算環比年率的第一年及第二年的數值，均是假設季度增長率不變，向前推算得出的，不涉及實際已發生的、本季之前的數值。環比年率純粹只考慮當前季度較上季的實際變動率，以此向未來推算，至於上季以及再之前季度的實際變動率，均與環比年率無關。因此，我們可以說，環比年率是根據最新一季較上季的實際變動率計算出來的、未來式的假設性年度變動率。

為方便演示，設：

q=季度數值較上季的變動率，R=1+q，A=環比年率，Qn=第n季數值，

則Q2=Q1*R，Q3=Q2*R=Q1*R²，Qn=Qn-1*R=Q1*R^n-1，而

A =（Q5+Q6+Q7+Q8）/（Q1+Q2+Q3+Q4）-1

  =（Q1*R⁴+Q1*R⁵+Q1*R⁶+Q1*R⁷）/（Q1+Q1*R+Q1*R²+Q1*R³）-1

  = Q1（R⁴+R⁵+R⁶+R⁷）/Q1（1+R+R²+R³）-1

  = R⁴（1+R+R²+R³）/（1+R+R²+R³）-1

  = R⁴ -1

A =（1+q）⁴ –1

環比年率（A）與季率（q）之間的關係，原來就是這麼簡單。

這公式其實也可以寫成：環比年率（A）= Q5/Q1 -1，因為Q5=Q1*R⁴，故Q5/Q1=R⁴。Q5即是第二年的第一季，A是拿Q5與上年同期相比得出的變動率。由此可見，環比年率其實是一種假設性的（假設季率在未來四季保持不變）、未來式的（依季率向前推算）同比年率。有趣吧？

Chained dollars and annual rates

此處順帶說明一下以上季度GDP的數值：首先是chained (2000) dollars，這是指將各季GDP的名義值（nominal value，反映當季的物價）調整為反映2000年購買力的數值，根據以chained dollars為本的GDP所計算出來的變動率，就是所謂的實質變動率（real rate of change），即所謂的經通膨調整變動率，也就是剔除物價變動影響的變動率。名義變動率是根據GDP名義值計算出來的，實質變動率約等於名義變動率減去通貨膨脹率。

接下來是seasonally adjusted at annual rates，經季節調整的年率，這裡的年率是路透金融詞典Annual Rate詞條下的第一定義，與美國月度房屋銷售的年率類似，是將季度數值乘以4（月度數值則乘12）得出的年率化數值，代表若經濟產出保持該季的水平，一整年的GDP會是多少。必須分清楚的是，這是季度GDP的年率化數值，而不是數值變動的年率化變動率（即環比年率）。目前美國官方將兩者都稱為annual rate，這可能會引起一些混淆，環比年率英文若改稱annualised rate應會有助辨識。

美國商務部屬下的經濟分析局（BEA，Bureau of Economic Analysis）在網站上的答問版中解釋了為何BEA要公佈年率化的數值（annual rates），答案是：為了方便比較。BEA舉美國個人所得為例，2003年12月個人所得年率為93,358億美元，2003年第四季個人所得年率為93,126億，2003年全年個人所得為91,874億，這三個數值可以很方便地直接相互比較。若是將12月個人所得還原為單月數值7,780億（年率除以12），第四季個人所得還原為單季數值23,282億（年率除以4），就不能直接拿來與2003年全年個人所得91,874億相比較了。就GDP而言，將季度GDP的數值年率化，可方便季度GDP與年度GDP之間的比較。

經季節調整（seasonally adjusted）是為了剔除季節性因素的影響，以便數據更好地反映出經濟周期本身的態勢。BEA列舉了一些季節性因素的例子，包括：每年聖誕節過後，1月份消費者在珠寶、服飾以及消費電子產品上的支出都會下跌；因車廠需要時間調整設備以迎合新車款的生產，汽車的產量每年7月會下降；隨著廠商為冬季取暖需求做準備，取暖油的生產每年9月會增加。這些每年重複出現的季節性變動會扭曲季度或月度經濟數據，若不剔除這些因素的影響，季度或月度數據就無法較準確地反映經濟基本態勢。

綜合以上所述，根據這種GDP數值計算得出的季率、同比年率以及環比年率，均是經季節調整的實質變動率。

環比年率vs.同比年率

讓我們對照一下近年美國季度GDP的環比年率及同比年率：

U.S。GDP % change	2001Q3	2001 Q4	2002 Q1	2002 Q2	2002 Q3	2002 Q4	2003 Q1	2003 Q2	2003 Q3	2003 Q4	2004 Q1	2004 Q2	2004 Q3	2004 Q4	2005 Q1	2005 Q2-R
Y/Y	0.4	0.2	1.0	1.3	2.2	1.9	1.6	2.0	3.2	4.0	4.7	4.6	3.8	3.8	3.6	3.6
Annualised	-1.4	1.6	2.7	2.2	2.4	0.2	1.7	3.7	7.2	3.6	4.3	3.5	4.0	3.3	3.8	3.3
Q/Q*	-0.35	0.40	0.67	0.55	0.60	0.05	0.42	0.91	1.75	0.89	1.06	0.86	0.99	0.82	0.94	0.82

*同比年率及環比年率均直接來自新聞稿，季率根據環比年率倒推得出。

細想環比年率的定義，再研讀以上數據，有以下幾點體會：

1.      環比年率較同比年率更能反映數據的最新趨勢，因為環比年率僅考慮最近一季較上季的變動率，根據此一季率推算出一個假設性的、未來式的年度變動率，而同比年率則反映了過去四季以來每季較上季的變動率，是實際發生的、過去式的變動率。如前所述，環比年率=Q5/Q1 -1，可視為未來式的同比年率。

2.      環比年率的起伏會較同比年率為大，這是因為環比年率將最新一季的數值變動放大為年率，而同比年率則是反映實際發生的過去四季的變動情況。以美國2002年第三季至第四季的情況為例，GDP季率由增長0.60%驟降至0.05%，同比年率僅是由增長2.2%略降至1.9%，而環比年率則由增長2.4%急挫至0.2%。2003年第二季至第四季的情況亦相當有趣，隨著季率的驟升猛跌，第二季GDP環比年率亦跟著劇變，而同比年率在第三季上揚至增長3.2%後，在環比年率第四季較上季減半的情況，第四季仍可續升至增長4.0%。
商務部的BEA指出，一些本身波動較為劇烈的季度數據，如企業獲利，BEA只公佈較上季變動百分比，而不公佈環比年率，是因為將波動劇烈的季度變動放大為年率，可能會誤導大家。同理，月度數據如個人所得及個人支出，BEA也只公佈較上月變動百分比，而不公佈環比年率，因為這會過度誇大了數據的變動幅度。

3.      若季率一直保持不變，環比年率會與同比年率一樣；若季率在一段時間內大致呈現上升（加速擴張），則期間季度環比年率的平均值會高於同比年率平均值；若季率在一段時間內大致呈現下跌（增長放緩），則期間季度環比年率的平均值會低於同比年率平均值。也就是說，在景氣持續向好的時期，環比年率要比同比年率更能顯示出經濟的榮景。

4.      這一點很重要：因含義不同，不能拿美國季度GDP的環比年率與歐洲季度GDP的同比年率比較。當然，若是比較一整個年度的GDP增長率，則不會有環比及同比的差別，因為這種增長率一定是本年度產值與上一年度相比較得出的。要比較不同國家的經濟數據，其定義、統計方法以及計算方式必須一致，否則很可能會得出誤導人的結論。敝人見過最離譜的錯誤，是台灣一本聲譽良好、頗受敬重的雜誌，將歐元區季度GDP的headline number，即較上季變動百分比（季率），拿來與美國季度GDP的環比年率相比較，藉此說明歐洲經濟表現相對於美國是多麼的不堪——結論雖無誤，但推論中卻犯了低級錯誤。歐元區季度GDP僅公佈季率及同比年率，連後者也不應拿來與美國季度GDP的環比年率相比較，更何況是前者！

美國季度GDP以環比年率為headline number，按商務部BEA的解釋，是因為方便與完整年度的GDP增長率相比較。舉例，美國2003及2004年GDP分別增長2.7%及4.2%，而2005年第一季GDP環比年率為增長3.8%，由此可見第一季經濟增長勢頭不如2004年平均水準，但顯著強於2003年。2005年第一季GDP同比增長3.6%，這也是一種年增率，但因為這個增長率反映了過去四個季度的經濟增長狀況，不能視為單獨反映第一季的狀況，因此若拿來與完整年度的GDP增長率相比較，不可以得出上述結論。

必須強調的是，環比年率是一種特殊的年增率（假設性的、未來式的），與我們一般熟悉的季率（較上季變動百分比）及年率（同比年率）均不相同，翻譯時，一定不能譯為「較上季增長／萎縮x%」或「較上年同期增長/萎縮x%」。

結語：即日起，請大家起用環比年率此一譯名，每次提及時加註以下說明：

環比年率係以季度變動率推算，代表在該季度變動率持續不變下的年度變動率。〔可以視實際變動狀況酌予修改，例如將「變動率」改為「成長率」，以更貼近原文內容。〕

以美國2005年第二季GDP的preliminary reading為例（第一次公佈稱為Advance reading， Preliminary為第二次公佈，是修正值；Final則是第三次公佈，為季度GDP的終值），可寫：美國第二季GDP環比年率修正後為增長3.3%（注意：環比年率為增長3.3%，「為」是不可省略的，切不可寫「環比年率增長3.3%」），然後在恰當位置附加以下註解：

…環比年率係以季度GDP增長率推算，代表在該增長率持續不變下的年度GDP將增長多少。